Question

問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：
①如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN；
②如圖2，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN．然后運用類比的思想提出了如下命題；
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN．
任務要求：
（1）請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；
（2）請你繼續完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，試問當∠BON等于多少度時，結論BM=CN成立；（不要求證明）
②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，AE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°時，試問結論BM=CN是否還成立．若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）選命題① 在圖1中，
∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．
選命題②在圖2中
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．
選命題③在圖3中，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．
（2）①當∠BON=時，結論BM=CN成立．
②BM=CN成立． 在圖5中，連接BD、CE，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE=∠DEA=108°．
∴∠BCD=∠DEA，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．
∵∠BON=108°，
∴∠OBC+∠OCB=108°．
∵∠OCB+∠OCD=108°，
∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．
∴∠MBC﹣∠DBC=∠NCD﹣∠ECD，
即∠DBM=∠ECN．
∴∠CDE﹣∠BDC=∠DEA﹣∠CED，
即∠BDM=∠CEN．
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
BM=CN。