Question

問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：

①如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN；
②如圖2，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN．
然后運用類比的思想提出了如下命題；
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN．任務要求：
（1）請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；
（2）請你繼續完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，試問當∠BON等于多少度時，結論BM=CN成立；（不要求證明）
②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，AE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°時，試問結論BM=CN是否還成立．若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）正三角形ABC中，可通過全等三角形來證明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；正方形和正五邊形的證明過程與正三角形的一樣，都是通過全等三角形來得出線段的相等，證三角形的過程中都是根據∠BON和多邊形的內角相等得出一組兩三角形中的一組對應角相等，然后根據正多邊形的內角和邊相等，得出BCM和CND全等，進而得出BM=CN；（2）①由（1）的證明過程可知道∠MON的度數應該是正多邊形的內角的度數，當∠BON=

(n-2)×180°

n

時，結論BM=CN成立，
②可參照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通過證三角形CEN和BDM全等來得出結論，在證三角形CEN和BDM全等的過程中也是通過∠BON與正五邊形的內角相等得出一組對應角相等，然后根據正五邊形的內角減去第一對全等三角形中得出的相等角來得出另一組對應角相等，可通過△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得證．

解答：
解：（1）選命題①
在圖1中，∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．

選命題②
在圖2中∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

選命題③
在圖3中，∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

（2）①當∠BON=

(n-2)×180°

n

時，結論BM=CN成立．
②BM=CN成立．
在圖5中，連接BD、CE，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE=∠DEA=108°．
∴∠BCD=∠DEA，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．
∵∠BON=108°，
∴∠OBC+∠OCB=108°．
∵∠OCB+∠OCD=108°，
∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD，即∠DBM=∠ECN．
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED，即∠BDM=∠CEN．
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
∴BM=CN．

點評：本題主要考查了全等三角形，正多邊形等幾何知識，是一道幾何型探究題，層層深入，體現了一個由特殊到一般的過程，考查學生的邏輯思維能力及歸納探索諸多方面的能力，是一道很好的壓軸題．本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現了從一般到特殊的數學思想方法，引導學生漸漸地從易走到難，是新課標形勢下的成熟壓軸題．