Question

24、問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下命題：
如圖①，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若CM=DN，則∠BON=108°．
該小組提出了一個大膽的猜想：如圖②，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、EA上的點，BM與CN相交于點O，若DM=EN，則∠BON=108°．
請問他們的猜想是否正確？若正確，請寫出解答過程；若不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：連接EC、BD，由正五邊形推出∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，△BCD≌△CDE，證出△CEN≌△BDM推出∠ECN=∠DBM，根據∠BON=∠OBC+∠OCB即可求出答案．

解答：結論：猜想正確
證明：連接EC、BD，
∵五邊形ABCDE為正五邊形，
∴∠BCD=∠CDE=∠DEA=108°，BC=CD=DE，
∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，
△BCD≌△CDE，
∴∠NEC=∠BDM=∠BCE=72°，BD=EC，
又∵DM=EN，
∴△CEN≌△BDM，
∴∠ECN=∠DBM，
∴∠BON=∠OBC+∠OCB=∠DBC+∠ECB=36°+72°=108°，
∴∠BON=108°．

點評：本題主要考查對全等三角形的性質，三角形的外角性質，多邊形的內角和外角等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．