Question

27、問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：
Ⅰ．如圖①，在正三角形△ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN．
Ⅱ．如圖②，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN．
任務要求：
（1）請你從Ⅰ、Ⅱ兩個命題中選擇一個進行證明．
（2）如圖，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，請問結論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）正三角形ABC中，可通過全等三角形來證明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；（2）正方形和正五邊形的證明過程與正三角形的一樣，都是通過全等三角形來得出線段的相等，證三角形的過程中都是根據∠BON和多邊形的內角相等得出一組兩三角形中的一組對應角相等，然后根據正多邊形的內角和邊相等，得出△BCM和△CND全等，進而得出BM=CN．

解答：解：（1）選命題Ⅰ．
證明：在圖1中，∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．
選命題Ⅱ．
證明：在圖2中∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．
（2）BM=CN成立．
證明：在圖3中，∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

點評：本題主要考查了全等三角形，正多邊形等幾何知識，是一道幾何型探究題．本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現了從一般到特殊的數學思想方法，引導學生漸漸地從易走到難，是新課標形勢下的成熟壓軸題．