Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O在邊AC上，⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點，與邊AC交于E點，弦CF與AB平行，與DO的延長線交于M點．
（1）求證：點M是CF的中點；
（2）若E是 的中點，BC=a，寫出求AE長的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵AB與⊙O相切于點D，

∴OD⊥AB于D．

∴∠ODB=90°．

∵CF∥AB，

∴∠OMF=∠ODB=90°．

∴OM⊥CF．

∴點M是CF的中點

（2）解：思路：

連接DC，DF．

①由M為CF的中點，E為 的中點，

可以證明△DCF是等邊三角形，且∠1=30°；

②由BA，BC是⊙O的切線，可證BC=BD=a．

由∠2=60°，從而△BCD為等邊三角形；

③在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=BD=a，可以求得AD=a，CO= ，OA= ；

④AE=AO﹣OE= ﹣ = ．

解：連接DC，DF，

由（1）證得M為CF的中點，DM⊥CF，

∴DC=DF，

∵E是 的中點，

∴CE垂直平分DF，

∴CD=CF，

∴△DCF是等邊三角形，

∴∠1=30°，

∵BC，AB分別是⊙O的切線，

∴BC=BD=a，∠ACB=90°，

∴∠2=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴∠A=30°，

∴OD= a，AO= a，

∴AE=AO﹣OE= a．

【解析】（1）根據切線的性質得到OD⊥AB于D．根據平行線的性質得到∠OMF=∠ODB=90°．由垂徑定理即可得到結論；（2）連接DC，DF．由M為CF的中點，E為 的中點，可以證明△DCF是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠1=30°；根據切線的性質得到BC=BD=a．推出△BCD為等邊三角形；解直角三角形即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．