Question

【題目】如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA=GE．

（1）求證：AG與⊙O相切．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題（1）連接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，進一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；

（2）BC為直徑得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的長，進一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的長即可．

試題解析：（1）證明：如圖，

連接OA，

∵OA=OB，GA=GE

∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE

∵EF⊥BC，

∴∠BFE=90°，

∴∠ABO+∠BEF=90°，

又∵∠BEF=∠GEA，

∴∠GAE=∠BEF，

∴∠BAO+∠GAE=90°，

即AG與⊙O相切．

（2）解：∵BC為直徑，

∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，

∴BC=10，

∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，

∴△BEF∽△BCA，

∴

∴EF=1．8，BF=2．4，

∴0F=0B-BF=5-2．4=2．6，

∴OE=．