Question

【題目】已知：如圖，點N為△ABC的內心，延長AN交BC于點D，交△ABC的外接圓于點E．
（1）求證：EB=EN=EC；
（2）求證：NE2=AEDE．

Answer 1

【答案】證明：（1）連接BN，
∵點N為△ABC的內心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠BCE=∠1，
∴EB=EC．
∵∠5與∠2都是弧EC所對的圓周角，
∴∠5=∠2=∠1．
∴∠4+∠5=∠3+∠1．
∵∠NBE=∠4+∠5，∠BNE=∠3+∠1，
∴∠NBE=∠BNE．
∴EB=EN．
∴EB=EN=EC．
（2）由（1）知∠5=∠2=∠1，∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB．
∴．
即BE2=AEDE．
∵EB=EN，
∴NE2=AEDE．

【解析】點N為△ABC的內心，易證EB=EC，只需證明EB=EN，或EN=EC，可以通過等角對等邊得出；欲證NE2=AEDE，即證BE2=AEDE，可以通過證明△BED∽△AEB得出．
【考點精析】利用三角形的內切圓與內心對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心．