Question

【題目】我們把方程(x- m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m，n)、半徑長為r的圓的標準方程．例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標準方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐標系中,圓C與軸交于點A．B．且點B的坐標為(8．0),與y軸相切于點D(0, 4)，過點A,B,D的拋物線的頂點為E．

(1)求圓C的標準方程；

(2)試判斷直線AE與圓C的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，理由見解析

【解析】

（1）連接CD，CB，過C作CF⊥AB，分別表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理構造方程求解即可得到圓C半徑以及點C坐標，從而得到標準方程；

（2）由（1）可得點A坐標，求出拋物線表達式，得到點E坐標，再求出直線AE的表達式，聯立直線AE和圓C的表達式，通過判斷方程根的個數即可得到兩者交點個數，從而判斷位置關系.

解：連接CD，CB，過C作CF⊥AB，

∵點D（0，4），B（8，0），設圓C半徑為r，圓C與y軸切于點D，

則CD=BC=OF=r，CF=4，

∵CF⊥AB，

∴AF=BF=8-r，

在△BCF中，，

即，

解得：r=5，

∴CD=OF=5，即C（5，4），

∴圓C的標準方程為：；

（2）由（1）可得：BF=3=AF，則OA=OB-AB=2，

即A（2，0），

設拋物線表達式為：，將A，B，D坐標代入，

，解得：，

∴拋物線表達式為：，

∴可得點E（5，），

設直線AE表達式為：y=mx+n，將A和E代入，

可得：，解得：，

∴直線AE的表達式為：，

∵圓C的標準方程為，

聯立，

解得：x=2，

故圓C與直線AE只有一個交點，橫坐標為2，

即圓C與直線AE相切.