Question

【題目】已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直線l經過點A(不經過點B或點C)，點C關于直線l的對稱點為點D，連接BD，CD.

(1)如圖1，

①求證：點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上.

②直接寫出∠BDC的度數(用含α的式子表示)為______.

(2)如圖2，當α＝60°時，過點D作BD的垂線與直線l交于點E，求證：AE＝BD.

(3)如圖3，當α＝90°時，記直線l與CD的交點為F，連接BF.將直線l繞點A旋轉，當線段BF的長取得最大值時，直接寫出tan∠FBC的值.

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②；(2)證明見解析；(3)tan∠FBC＝.

【解析】

（1）①由線段垂直平分線的性質可得AD＝AC＝AB，即可證點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上；

②由圓周角定理可得∠BAC＝2∠BDC，可求∠BDC的度數；

（2）連接CE，由題意可證△ABC，△DCE是等邊三角形，可得AC＝BC，∠DCE＝60°＝∠ACB，CD＝CE，根據“SAS”可證△BCD≌△ACE，可得AE＝BD；

（3）取AC的中點O，連接OB，OF，BF，由三角形的三邊關系可得，當點O，點B，點F三點共線時，BF最長，根據等腰三角形的性質和勾股定理可求，OH＝HC，BH＝3HC，即可求tan∠FBC的值.

證明：（1）①如圖1，連接DA，

∵點C關于直線l的對稱點為點D，

∴AD＝AC，且AB＝AC，

∴AD＝AB＝AC，

∴點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上；

②∵點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上，

∴∠BDC＝；

（2）如圖2，連接CE，

∵∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC＝AC，∠ACB＝60°，

∵∠BDC＝，

∴∠BDC＝30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE＝60°，

∵點C關于直線l的對稱點為點D，

∴DE＝CE，且∠CDE＝60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝AE；

（3）如圖3，取AC的中點O，連接OB，OF，BF，

∵在△BOF中，BO+OF≥BC，

∴當點O，點B，點F三點共線時，BF最長，

如圖，過點O作OH⊥BC，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BC＝AC，∠ACB＝45°，

∴∠COH＝∠HCO＝45°，

∴OH＝HC，

∴OC＝HC，

∵點O是AC中點，

∴AC＝2HC，

∴BC＝4HC，

∴BH＝BC﹣HC＝3HC，

∴tan∠FBC＝＝.