Question

21、如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若E，F是AC上兩動點，分別從A，C兩點以相同的速度向C、A運動，其速度為1cm/s．
（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形嗎？說明理由；
（2）若BD=12cm，AC=16cm，當運動時間t為何值時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形？

Answer 1

分析：（1）判斷四邊形DEBF是否為平行四邊形，需證明其對角線是否互相平分；已知了四邊形ABCD是平行四邊形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可證得BD、EF互相平分，即四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）若以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形，則必有BD=EF，可據此求出時間t的值．

解答：解：（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD；
∵E、F兩動點，分別從A、C兩點以相同的速度向C、A運動，
∴AE=CF；
∵OE=OF；
∴BD、EF互相平分；
∴四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）∵四邊形DEBF是平行四邊形，
∴當BD=EF時，四邊形DEBF是矩形；
∵BD=12cm，
∴EF=12cm；
∴OE=OF=6cm；
∵AC=16cm；
∴OA=OC=8cm；
∴AE=2cm或AE=14cm；
由于動點的速度都是1cm/s，
所以t=2（s）或t=14（s）；
故當運動時間t=2s或14s時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形．

點評：熟練掌握平行四邊形、矩形的的判定和性質，是解答此題的關鍵．