Question

【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形OACB的頂點(diǎn)A，B分別在x，y軸上，已知OA＝3，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，1），CD＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段A﹣C﹣B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

（1）求B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)E落在x軸上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）②情況下，直線OP上求一點(diǎn)F，使FE+FA最小．

Answer 1

【答案】（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的長(zhǎng)度就是AF+EF的最小值，則點(diǎn)F即為所求

【解析】

（1）由四邊形OACB是矩形，得到BC＝OA＝3，在Rt△BCD中，由勾股定理得到BD＝ ＝4，OB＝5，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，OD＝1，BC＝3，S＝，當(dāng)點(diǎn)在BC上時(shí)，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，得到S＝×1×（8﹣t）＝﹣ t+4；

②當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)落在x軸上時(shí)，得到點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)是（1，0），求得E（1，0）；

（3）由點(diǎn)D、E關(guān)于OP對(duì)稱，連接AD交OP于F，找到點(diǎn)F，從而確定AD的長(zhǎng)度就是AF+EF的最小值，在Rt△AOD中，由勾股定理求得AD＝ ，即AF+EF的最小值＝．

解：（1）∵四邊形OACB是矩形，

∴BC＝OA＝3，

在Rt△BCD中，∵CD＝5，BC＝3，

∴BD＝ ＝4，

∴OB＝5，

∴B（0，5），C（3，5）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，OD＝1，BC＝3，

∴S＝，

當(dāng)點(diǎn)在BC上時(shí)，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，

∴S＝ ×1×（8﹣t）＝﹣ t+4；（t≥0）

②當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)落在x軸上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)是（1，0），

∴E（1，0）；

（3）如圖2∵點(diǎn)D、E關(guān)于OP對(duì)稱，連接AD交OP于F，

則AD的長(zhǎng)度就是AF+EF的最小值，則點(diǎn)F即為所求．

故答案為：（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的長(zhǎng)度就是AF+EF的最小值，則點(diǎn)F即為所求