Question

【題目】如圖所示，已知拋物線經過點 A （－2，0）、 B （4，0）、 C （0，－8），拋物線 y ＝ a x 2 ＋ b x ＋ c （a≠0）與直線 y ＝ x －4交于 B ， D 兩點．

（1）求拋物線的解析式并直接寫出 D 點的坐標；

（2）點 P 為拋物線上的一個動點，且在直線 BD 下方，試求出△ BDP 面積的最大值及此時點 P 的坐標；

（3）點 Q 是線段 BD 上異于 B 、 D 的動點，過點 Q 作 QF ⊥ x 軸于點 F ， 交拋物線于點 G ． 當△ QDG 為直角三角形時，求點 Q 的坐標．

Answer 1

【答案】（1） (-1，-5)；（2） (，-)；（3） (2，-2)或 (3，-1)

【解析】試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），將點C的坐標代入可求得a的值，然后將y=x-4與拋物線的解析式聯立求解即可；

（2）過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設P（x，x2-2x-8），則E（x，x-4），則PE═-x2+3x+4，然后依據S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面積與x的函數關系式，然后依據二次函數的性質求解即可；

（3）設直線y=x-4與y軸相交于點K，則K（0，-4），設G點坐標為（x，x2-2x-8），點Q點坐標為（x，x-4），先證明△QDG為等腰直角三角形，然后根據

∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），將點C的坐標代入得：-8a=-8，解得：a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-8．

將y=x-4代入拋物線的解析式得：x2-2x-8=x-4，解得：x=4或x=-1，

將x=-1代入y=x-4得：y=-5．

∴D（-1，-5）．

（2）如圖所示：

過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設P（x，x2-2x-8），則E（x，x-4）．

∴PE=x-4-（x2-2x-8）=-x2+3x+4．

∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE（xp-xD）+PE（xB-xE）=PE（xB-xD）=（-x2+3x+4）=-（x-）2+．

∴當x=時，△BDP的面積的最大值為．

∴P（，-）．

（3）設直線y=x-4與y軸相交于點K，則K（0，-4），設G點坐標為（x，x2-2x-8），點Q點坐標為（x，x-4）．

∵B（4，0），

∴OB=OK=4．

∴∠OKB=∠OBK=45°．

∵QF⊥x軸，

∴∠DQG=45°．

若△QDG為直角三角形，則△QDG是等腰直角三角形．

①當∠QDG=90°時，過點D作DH⊥QG于H，

∴QG=2DH，QG=-x2+3x+4，DH=x+1，

∴-x2+3x+4=2（x+1），解得：x=-1（舍去）或x=2，

∴Q1（2，-2）．

②當∠DGQ=90°，則DH=QH．

∴-x2+3x+4=x+1，解得x=-1（舍去）或x=3，

∴Q2（3，-1）．

綜上所述，當△QDG為直角三角形時，點Q的坐標為（2，-2）或（3，-1）．