Question

【題目】已知銳角△ABC中，邊BC長(zhǎng)為12，高AD長(zhǎng)為8．

（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K．

①求的值；

②設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在△ABC一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC的另兩邊上，直接寫(xiě)出正方形PQMN的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②， S的最大值是24；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）①由EF∥BC，可得，所以，據(jù)此求出的值即可．

②由EH=x，求出AK=8﹣x，再由=，求出EF的值；然后根據(jù)矩形的面積公式，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．

（2）根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，分兩種情況：①當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上時(shí)；②當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在AB或AC邊上時(shí)；分類討論，求出正方形PQMN的邊長(zhǎng)各是多少即可．

試題解析：（1）①∵EF∥BC，∴，∴==，即的值是；

②∵EH=x，∴KD=EH=x，AK=8﹣x，∵=，∴EF=，∴S=EHEF=，即，∴當(dāng)x=4時(shí)，S的最大值是24；

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，①當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上時(shí)，，解得a=；

②當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在AB或AC邊上時(shí)，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12÷2=6，∴AB=AC===10，∴AB或AC邊上的高等于：ADBC÷AB=8×12÷10=，∴，解得a=；

綜上，可得正方形PQMN的邊長(zhǎng)是或．