Question

（本小題10分）
將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠ABC的平分線上時(shí)，連接DP，求DP的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)PD＝BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以D、P、B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時(shí)□DPBQ的面積．

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．
（1）如圖（1），作DF⊥AC，∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．
∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝． 3分

（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，根據(jù)（1）中結(jié)論，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．
當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，同（2）可得∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．3分

（3）CP＝．1分
在□DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC．根據(jù)（1）中結(jié)論可知，DP＝CP＝，∴S□DPBQ＝＝．3分

略