Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、點C分別在y軸、x軸的正半軸上，OA，OC的長分別是方程x2-7x+12=0的兩根（OA＜OC）．P為直線AB上一動點，直線PQ⊥OP交直線BC于點Q．

（1）求點B的坐標；

（2）當點P在線段AB上運動（不與A，B重合）時，設點P的橫坐標為m，線段CQ的長度為l．求出l關于m的函數解析式；

（3）在坐標平面內是否存在點D，使以O、P、Q、D為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出D點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（4，3）；(2) ；（3）存在，D（3，-1）或（-3，7）.

【解析】

（1）通過解方程求出線段的長度，利用矩形的性質得到AB=4，BC=3，求得B（4，3）；

（2）因為點P在線段AB上，點P的橫坐標為m，用m表示出AP的長度，利用相似三角形的性質列出比例式求出l關于m的函數解析式；

（3）如圖，過點D作DE⊥OC于E，由以O、P、Q、D為頂點的四邊形為正方形，得到OP=PQ=OD，通過三角形全等，對應邊相等求得AP=m=1，再根據另一對三角形全等得到點D的坐標．

（1）解方程x2-7x+12=0得：x1=3，x2=4，

∴OA=3，OC=4，

∴A（0，3），C（4，0），

∵四邊形OABC為矩形，

∴AB=4，BC=3，

∴B（4，3）；

（2）點P在線段AB上，點P的橫坐標為m，

∴AP=m，

∵CQ=l，

∴BQ=3-l，

∵∠OAP=∠B=∠OPQ=90°，

∴∠APO+∠BPQ=∠APO+∠AOP=90°，

∴∠APO=∠BPQ，

∴△APO∽△BPQ，

∴，

即，

∴；

（3）存在，

如圖，過點D作DE⊥OC于E，

∵四邊形ODQP是正方形，

∴OP=PQ=OD，

在△AOP與△BPQ中，

，

∴△AOP≌△BPQ（AAS），

∴PB=OA=3，

∴AP=BP=1，

在△AOP與△OED中，

，

∴△AOP≌△OEP（AAS），

∴OE=AO=3，DE=AP=1，

∴D（3，-1）．

若點P在點B的右邊，同理可得D（-3，7）

綜上所述D（3，-1）或（-3，7）