Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段AC上由點A向點C 以4cm/s的速度運動．若點P、Q兩點分別從點B、A同時出發．

（1）經過2秒后，求證：∠DPQ=∠C．

（2）若△CPQ的周長為18cm，問經過幾秒鐘后，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）經過1秒或秒或秒時，△CPQ是等腰三角形．

【解析】

（1）經過1秒后，PB=2m，PC=8m，CQ=6m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據SAS可證得△BPD≌△CQP，然后根據全等三角形的性質及三角形外角的性質即可解答；

（2）可設點Q的運動時間為ts△CPQ是等腰三角形，則可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，據（1）同理可得當BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時△CPQ為等腰三角形，從而求得t的值．

（1）當P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發運動2秒時，

有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，則CP=BC﹣BP=10﹣4=6cm，

CQ=AC﹣AQ=12﹣8=4cm，∵D是AB的中點，

∴BD=AB=×12=6cm，

∴BP=CQ，BD=CP，

又∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS)

∴∠DPB=∠PQC，

∵∠B+∠PDB=∠DPQ+∠QPC，

∴∠DPQ=∠C；

（2）設當P，Q兩點同時出發運動t秒時，

有BP=2t，AQ=4t

∴t的取值范圍為0＜t≤3，

則CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t，

∵△CPQ的周長為18cm，

∴PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）=6t﹣4，

要使△CPQ是等腰三角形，則可分為三種情況討論：

①當CP=CQ時，則有10﹣2t=12﹣4t，

解得：t=1．

②當PQ=PC時，則有6t﹣4=10﹣2t，

解得：t=；

③當QP=QC時，則有6t﹣4=12﹣4t，

解得：t=，

三種情況均符合t的取值范圍．

綜上所述，經過1秒或秒或秒時，△CPQ是等腰三角形．