Question

【題目】已知拋物線（是常數(shù)）與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①求當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的值；

②當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在第一象限內(nèi)，取得最小值時(shí)，求的值及這個(gè)最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ； （Ⅱ）①的值為或；②的值為，的最小值為

【解析】

（Ⅰ）用待定系數(shù)法求出b、c即可得出解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);

（Ⅱ）①先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，由于點(diǎn)P’與點(diǎn)P（m,t）關(guān)于原點(diǎn)對稱，故點(diǎn)P’的坐標(biāo)為（-m,-t），將其代入直線BC解析式，即可求解；

②點(diǎn)P’落在第一象限可得m<0,t<0，連接AP’，過點(diǎn)P’作P’H⊥x軸于點(diǎn)H，則H（-m，0），可得在Rt△P’AH中，，可以得到的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，通過配方法可以求出的最小值.

（Ⅰ）∵拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）C（0，-3），

∴，解得.

∴拋物線的解析式為

∵，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）.

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k0），

∴.解得.

∴直線BC的解析式為y=x-3.

∵點(diǎn)P’與點(diǎn)P（m,t）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴點(diǎn)P’的坐標(biāo)為（-m,-t）.

∵點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P’ （-m,-t）落在直線BC上，

∴-t=-m-3，即t=m+3.

∵點(diǎn)P（m,t）在拋物線上，∴.

∴.解得或.

∴的值為或.

②∵點(diǎn)P（m,t）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P’ （-m,-t）落在第一象限內(nèi)，

∴-m>0,-t>0，即m<0,t<0.

∵點(diǎn)P（m,t）在拋物線上，∴..

∴

連接AP’，過點(diǎn)P’作P’H⊥x軸于點(diǎn)H，則H（-m，0）.

∵A（-1,0），∴.

∵在Rt△P’AH中，，

∴，

∵1>0，∴當(dāng)時(shí)，有最小值.

∴，

解得或（舍去），

∴的值為，的最小值為.