Question

【題目】如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉時始終滿足OAOB=OP2，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如圖2，已知∠MON=90°，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB=135°．求證：∠APB是∠MON的智慧角．

（2）如圖1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，連結AB，用含α的式子表示∠APB的度數．

（3）如圖3，C是函數 圖象上的一個動點，過C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點，且滿足BC=2CA，請求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠APB=180°﹣α；（3）點P的坐標為：（，），或（，）．

【解析】

（1）只要證明△AOP∽△POB，可得=，即可證明；

（2）由∠APB是∠MON的智慧角，可得=，即可推出△AOP∽△POB，推出∠OAP=∠OPB，推出∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-α；

（3）設點C（a，b），則ab=3，過點C作CH⊥OA于H；發三種情形情況：①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，如圖3所示：②當點A在x軸的正半軸上時，如圖4所示：③當點B在y軸的負半軸上時，如圖5所示，分別求解即可.

（1）如圖2中，

∵∠MON=90°，P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=135°，

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2=OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如圖1中，

∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OAOB=OP2，

∴，

∵P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP=∠BOP=α，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α，

即∠APB=180°﹣α；

（3）設點C（a，b），則ab=3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，如圖3所示：

BC=2CA不可能；

②當點A在x軸的正半軸上時，如圖4所示：

∵BC=2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴OB=3b，OA=a，

∴OAOB=a3b==，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點P的坐標為：（，）；

③當點B在y軸的負半軸上時，如圖5所示，

∵BC=2CA，

∴AB=CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS），

∴OB=CH=b，OA=AH=a，

∴OAOB= ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP===，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點P的坐標為：（，）；

span>綜上所述：點P的坐標為：（，），或（，）．