Question

如圖1，點A（a-

3

，b+1），B（a+

3

，b-1）都在反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象上．
（1）求a、b之間的關系式；
（2）把線段AB平移，使點A落到y軸正半軸上的C點處，點B落到x軸正半軸上的D點處，求點O到CD的距離；
（3）在（2）的條件下，如圖2，當∠BAD=30°時，請求出k的值．

Answer 1

（1）∵點A（a-

3

，b+1），B（a+

3

，b-1）都在反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象上．
∴(a-

3

)(b+1)=(a+

3

)(b-1)=k
∴a=

3

b；

（2）設C（0，m），D（n，0），點O到CD得距離為h
∵線段AB平移，點A（a-

3

，b+1）落在y軸正半軸上的C點，點B（a+

3

，b-1）落在x軸正半軸上的D點，
∴

a- 3 -0=a+ 3 -n b+1-m=b-1-0

∴

m=2 n=2 3

在Rt△ODC中，OC²+OD²=DC²
∴DC=

22+(2 3 )2

=4
由三角形面積公式得：

OC•OD

2

=

CD•h

2

∴h=

2×2 3

4

=

3

∴點O到CD得距離為

3

；

（3）延長DA交y軸于點E，過C作CT⊥DE，垂足為T，（其實T與A重合）
∵線段AB平移得到CD，
∴AB∥CD
∴∠TDC=∠BAD=30°，又∠CTD=90°
∴CT=

1

2

DC=

1

2

OC2+OD2

=

1

2

×4=2，而OC=2
∴CT=OC，又CT⊥DE，CO⊥DO
∴∠ODC=∠TDC=30°
∴∠EDO=60°
∴∠CED=30°=∠EDC
∴EC=CD=4
∴OE=6
∴E（0，6）
由E，D的坐標得直線DE的解析式為：y=-

3

x+6，
點A（a-

3

，b+1）在直線DE上，且a=

3

b，
故A（

3

b-

3

，b+1），代入y=-

3

x+6得：b+1=-

3

(

3

b-

3

)+6
∴b=2
∴A（

3

，3）
∴k=3

3

．