Question

如圖，直線y=

1

5

x-1與x軸，y軸分別相交于B、A，點M為雙曲線y=

k

x

(x＞0)上的一點，且△AMB是以AB為底的等腰直角三角形．
（1）求A、B兩點坐標；
（2）過M點作MC⊥x軸，MD⊥y軸，垂足分別為C、D；求證：△AMD≌△BMC；
（3）求k值；
（4）問雙曲線上是否存在一點Q，使

S△OBQ

S△AOQ

=

5

4

？若存在，求Q點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵直線y=

1

5

x-1與x軸，y軸分別相交于B、A，
∴當x=0時，y=-1；當y=0時，x=5，
∴A點坐標的坐標為（0，-1），B點坐標為（5，0）；

（2）∵△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°，
∴∠MAD+∠OBA=45°，
∵∠MBC+∠OBA=45°，
∴∠MAD=∠MBC，
∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
在△AMD和△BMC中，

∠MAD=∠MBC ∠ADM=∠BCM AM=BM

，
∴△AMD≌△BMC（AAS）；

（3）∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四邊形OCMD是矩形，
∵△AMD≌△BMC，
∴AD=BC，DM=CM，
∴四邊形OCMD是正方形，
∴OC=OD，
∵OA=1，OB=5，
設OD=x，
則AD=x+1，BC=5-x，
∵AD=BC，
∴x+1=5-x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴點M的坐標為：（2，2），
∴k=xy=4；

（4）存在．
∵k=4，
∴反比例函數的解析式為：y=

4

x

，
設Q點的坐標為：（a，

4

a

），
∴S_△OBQ=

1

2

•OB•

4

a

=

1

2

×5×

4

a

=

10

a

，S_△AOQ=

1

2

•OA•a=

1

2

×1×a=

1

2

a，
∵

S△OBQ

S△AOQ

=

5

4

，
∴4S_△OBQ=5S_△AOQ，
即4×

10

a

=5×

1

2

a，
解得：a=±4，
∵a＞0，
∴a=4，
∴Q點的坐標為（4，1）．