Question

【題目】問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，則：AC=AB．

探究結論：小明同學對以上結論作了進一步研究．

（1）如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE=AB，易得結論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數量關系為　　．

（2）如圖2，點D是邊CB上任意一點，連接AD，作等邊△ADE，且點E在∠ACB的內部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數量關系，寫出你的猜想并加以證明．

（3）當點D為邊CB延長線上任意一點時，在（2）條件的基礎上，線段BE與DE之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論　　．

拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（﹣，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊△ABC，當C點在第一象限內，且B（2，0）時，求C點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由見解析；（3）ED=EB；拓展應用：C（1，2+）．

【解析】

探究結論：（1）只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問題；

（2）如圖2中，結論：ED=EB．想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問題；

（3）結論不變，證明方法類似；

拓展應用：利用（2）中結論，可得CO=CB，設C（1，n），根據OC=CB=AB，構建方程即可解決問題.

探究結論（1），如圖1中，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵AC=AB=AE=EB，

∴△ACE是等邊三角形，

∴EC=AE=EB，

故答案為：EC=EB；

（2）如圖2中，結論：ED=EB．

理由：連接PE，

∵△ACP，△ADE都是等邊三角形，

∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，

∴∠CAD=∠PAE，

∴△CAD≌△PAE，

∴∠ACD=∠APE=90°，

∴EP⊥AB，∵PA=PB，

∴EA=EB，∵DE=AE，

∴ED=EB；

（3）當點D為邊CB延長線上任意一點時，同法可證：ED=EB，

故答案為：ED=EB；

拓展應用：如圖3中，作AH⊥x軸于H，CF⊥OB于F，連接OA，

∵A（﹣，1），

∴∠AOH=30°，

由（2）可知，CO=CB，

∵CF⊥OB，

∴OF=FB=1，

∴可以假設C（1，n），

∵OC=BC=AB，

∴1+n2=1+（+2）2，

∴n=2+，

∴C（1，2+）．