Question

【題目】工人師傅用一塊長為10dm，寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形．（厚度不計）

（1）在圖中畫出裁剪示意圖，用實線表示裁剪線，虛線表示折痕；并求長方體底面面積為12dm2時，裁掉的正方形邊長多大？

（2）若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍，并將容器進行防銹處理，側面每平方分米的費用為0.5元，底面每平方分米的費用為2元，裁掉的正方形邊長多大時，總費用最低，最低為多少？

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；裁掉的正方形的邊長為2dm，底面積為12dm2；（2）當裁掉邊長為2.5dm的正方形時，總費用最低，最低費用為25元．

【解析】試題分析：（1）由題意可畫出圖形，設裁掉的正方形的邊長為xdm，則題意可列出方程，可求得答案；

（2）由條件可求得x的取值范圍，用x可表示出總費用，利用二次函數的性質可求得其最小值，可求得答案．

試題解析：（1）如圖所示：

設裁掉的正方形的邊長為xdm，

由題意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，

即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），

答：裁掉的正方形的邊長為2dm，底面積為12dm2；

（2）∵長不大于寬的五倍，

∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，

設總費用為w元，由題意可知

w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，

∵對稱軸為x=6，開口向上，

∴當0＜x≤2.5時，w隨x的增大而減小，

∴當x=2.5時，w有最小值，最小值為25元，

答：當裁掉邊長為2.5dm的正方形時，總費用最低，最低費用為25元．