Question

【題目】如圖，四邊形內接于半圓，為直徑，，過點作于點，連接交于點F.若，，則的長為 （　　）

A.8B.10C.15D.24

Answer 1

【答案】D

【解析】

連接BD，如圖，先利用圓周角定理證明∠ADE=∠DAC得到FD=FA=5，再根據余弦的定義計算出AE=3，則EF=4，DE=9，接著證明ΔADEΔDBE，利用相似比得到BE=27，所以AB=30，然后在RtΔABC中利用余弦定義計算出BC=24的長．

連接BD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

而∠DCA=∠ABD，

∴∠DAC=∠ABD，

∵DE⊥AB，

∴∠ABD+∠BDE=90°，

而∠ADE+∠BDE=90°，

∴∠ABD=∠ADE，

∴∠ADE=∠DAC，

∴FD=FA=5，

在RtΔAEF中，∵cos∠CAB= =，

∴AE=3，

∴EF==4，DE=5+4=9，

∵∠ADE=∠DBE，∠AED=∠BED，

∴ΔADEΔDBE，

∴DE:BE=AE:DE，即9:BE=3:9，

∴BE=27，

∴AB=3+27=30，

在RtΔABC中，∵cos∠CAB==，

∴AC=30×=18，

BC= ==24，

故選D．