Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝mx2﹣2mx﹣3m與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，連接AC，BC，將△OBC沿BC所在的直線翻折，得到△DBC，連接OD．

（1）點A的坐標為　 　，點B的坐標為　 　．

（2）如圖，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．

（3）設△OBD的面積為S1，△OAC的面積為S2，若S1＝S2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）(﹣1，0)，(3，0)；（2）y＝﹣x2+x+；（3）﹣

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），即可求解；

（2）證明△CPD∽△DQB，即可求解；

（3）S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝-m，而S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB，由S1＝S2即可求解.

（1）拋物線的表達式為：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），

故點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0），

故答案為：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，

設：D（1，n），點C（0，﹣3m），

∵∠CDP+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，

∴∠QDB＝∠DCP，

又∵∠CPD＝∠BQD＝90°，

∴△CPD∽△DQB，

∴,

其中：CP＝n+3m，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3m，BD＝3，

將以上數值代入比例式并解得：m＝±，

∵m＜0，故m＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+；

（3）y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），

∴C（0，﹣3m），CO＝﹣3m．

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，

∴S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝﹣m，

設OD交BC于點M，

由軸對稱性，BC⊥OD，OD＝2OM，

在Rt△COB中，BC＝,

由面積法得：OM＝ ,

∴tan∠COB＝＝﹣m，則cos∠COB＝,

MB＝OBcos∠COB＝,

∴S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB＝﹣ ,

又S1＝S2，

∴m2+1＝（m＜0），

故m＝﹣.