Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C是過點A的⊙O的切線上一點，連接OC，過點A作OC的垂線交OC于點D，交⊙O于點E，連接CE．

（1）求證：CE與⊙O相切；

（2）連結BD并延長交AC于點F，若OA=5，sin∠BAE=，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OE、BE，先證明OD∥BE，得到OC垂直平分AE，再證明△AOC≌△EOC，求出∠CEO=∠CAO=90°，即可得到結論；

（2）作DM⊥AB于M，先利用三角函數求出BE得到AE，根據垂徑定理求出AD，根據三角函數求出DM，利用勾股定理求出AM得到BM，根據DM∥AF證明△DMB∽△FAB，列比例線段由此求出AF.

（1）連接OE、BE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AE⊥OC，

∴∠ADO=∠AEB=90°，

∴OD∥BE，

∵OA=OB，

∴AD=DE，

∴OC垂直平分AE，

∴AC=CE，

∴△AOC≌△EOC，

∴∠CEO=∠CAO=90°，

即OE⊥CE，

∴CE與⊙O相切；

（2）作DM⊥AB于M，

∵OA=5，

∴AB=10，

∵sin∠BAE=，

∴,

∴,

∴，

∴DM=，

∴,

∵OA=5，

∴OM=1，

∴BM=6，

∵AC是⊙O的切線，

∴∠CAB=∠DMB=90°，

∴DM∥AF，

∴△DMB∽△FAB，

∴，

∴，

∴AF=.