Question

【題目】如圖,在菱形中,=60°, AB=2,點E是AB上的動點,作∠EDQ=60°交BC于點Q,點P在AD上,PD=PE.

（1）求證：AE=BQ；

（2）連接PQ, EQ,當∠PEQ=90°時,求的值；

（3）當AE為何值時,△PEQ是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）=；（3）AE為或2

【解析】

（1）連結DB，根據“ASA”證明△ADE≌△BDQ即可；

（2）先證明△DEQ是等邊三角形，可得∠DEQ=60°，進而可證明∠AED＝90°，根據勾股定理求出DE的長，根據兩平行線間的距離相等求出PQ的長，即可求出的值；

（3）分三種情況討論求解：①當QP=QE時，②當PE=QE時，③當PE=PQ時.

解：（1）連結DB,

∵四邊形ABCD為菱形,∠A＝60°,

∴AD=AB＝DB,∠DBQ＝∠A＝60°.

∴∠ADB＝60°.

∵∠EDQ=60°,

∴∠ADE＝∠BDQ.

∴△ADE≌△BDQ.

∴AE=BQ.

（2）如圖，

∵△ADE≌△BDQ,

∴DE=DQ.

∵∠EDQ=60°，

∴△DEQ是等邊三角形，

∴∠DEQ=60°，DE=EQ=DQ.

∵∠PEQ=90°,

∴∠PED＝30°.

∵PD=PE,

∴∠PDE＝∠PED＝30°.

∴∠AED＝90°.

∵AD=2,

∴DE＝.

∵PD=PE, EQ=DQ,

∴PQ是DE的中垂線,

∴PQ= AB=2.

∴=.

（3）①當QP=QE時,如圖1,

∵∠EQP＝∠DQP＝30°,

∴∠QPE＝∠QEP＝∠PDQ ＝75°.

∴∠PED＝∠PDE＝15°,

∴∠APE＝30°,

∴∠AEP＝90°.

∴AP＝2AE,PE＝PD＝AE,

∴AE＋2AE=2,

∴AE＝.

②當PE=QE時,

∵△DEQ是正三角形，

∴△PDE是正三角形,∠ADE＝60°,

點E與點B重合,如圖2,

∴AE=2.

③當PE=PQ時,

∵∠EQP＝30°,

∴∠PEQ=30°，由圖可知∠PEQ≥60°,

∴點E不存在.

綜上所述,當AE為或2時,△PEQ是等腰三角形.