Question

【題目】如圖1，對稱軸為直線x= 的拋物線經過B（2，0）、C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第一象限內拋物線上的一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；
（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由對稱性得：A（﹣1，0），

設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），

把C（0，4）代入：4=﹣2a，

a=﹣2，

∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），

∴拋物線的解析式為：y=﹣2x2+2x+4；

（2）

解：如圖1，設點P（m，﹣2m2+2m+4），過P作PD⊥x軸，垂足為D，

∴S=S梯形+S△PDB= m（﹣2m2+2m+4+4）+ （﹣2m2+2m+4）（2﹣m），

S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，

∵﹣2＜0，

∴S有最大值，則S大=6；

（3）

解：如圖2，存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形，

理由是：

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

把B（2，0）、C（0，4）代入得： ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+4，

設M（a，﹣2a+4），

過A作AE⊥BC，垂足為E，

則AE的解析式為：y= x+ ，

則直線BC與直線AE的交點E（1.4，1.2），

設Q（﹣x，0）（x＞0），

∵AE∥QM，

∴△ABE∽△QBM，

∴ ①，

由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②，

由①②得：a1=4（舍），a2= ，

當a= 時，x= ，

∴Q（﹣ ，0）．

【解析】（1）由對稱軸的對稱性得出點A的坐標，由待定系數法求出拋物線的解析式；（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關于S的二次函數，求最值即可；（3）畫出符合條件的Q點，只有一種，①利用平行相似得對應高的比和對應邊的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍．
本題是二次函數的綜合問題，綜合性較強；考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，并利用方程組求圖象的交點坐標，將函數和方程有機地結合，進一步把函數簡單化；同時還考查了相似的性質：在二次函數的問題中，如果利用勾股定理不能求的邊可以考慮利用相似的性質求解．