Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A坐標為（4，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點為N，在x軸上找一點K，使CK+KN最小，并求出點K的坐標；
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（4）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線經過點C（0，4），A（4，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣

（2）

解：由（1）可求得拋物線頂點為N（1， ），

如圖1，作點C關于x軸的對稱點C′（0，﹣4），連接C′N交x軸于點K，則K點即為所求，

設直線C′N的解析式為y=kx+b，把C′、N點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線C′N的解析式為y= ，

令y=0，解得x= ，

∴點K的坐標為（ ，0）

（3）

解：設點Q（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G，如圖2，

由﹣ =0，得x1=﹣2，x2=4，

∴點B的坐標為（﹣2，0），AB=6，BQ=m+2，

又∵QE∥AC，

∴△BQE≌△BAC，

∴ ，即 ，解得EG= ；

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ= = = ．

又∵﹣2≤m≤4，

∴當m=1時，S△CQE有最大值3，此時Q（1，0）

（4）

解：存在．在△ODF中，

（ⅰ）若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），

∴AD=OD=DF=2．

又在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°．

∴∠DFA=∠OAC=45°．

∴∠ADF=90°．

此時，點F的坐標為（2，2）．

由﹣ =2，得x1=1+ ，x2=1﹣ ．

此時，點P的坐標為：P1（1+ ，2）或P2（1﹣ ，2）；

（ⅱ）若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M．

由等腰三角形的性質得：OM= OD=1，

∴AM=3．

∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3．

∴F（1，3）．

由﹣ =3，得x1=1+ ，x2=1﹣ ．

此時，點P的坐標為：P3（1+ ，3）或P4（1﹣ ，3）；

（ⅲ）若OD=OF，

∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．

∴AC=4 ．

∴點O到AC的距離為2 ．

而OF=OD=2＜2 ，與OF≥2 矛盾．

∴在AC上不存在點使得OF=OD=2．

此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．所求點P的坐標為：（1+ ，2）或（1﹣ ，2）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）

【解析】（1）把A、C兩點坐標代入拋物線解析式可求得a、c的值，可求得拋物線解析；（2）可求得點C關于x軸的對稱點C′的坐標，連接C′N交x軸于點K，再求得直線C′K的解析式，可求得K點坐標；（3）過點E作EG⊥x軸于點G，設Q（m，0），可表示出AB、BQ，再證明△BQE≌△BAC，可表示出EG，可得出△CQE關于m的解析式，再根據二次函數的性質可求得Q點的坐標；（4）分DO=DF、FO=FD和OD=OF三種情況，分別根據等腰三角形的性質求得F點的坐標，進一步求得P點坐標即可．