Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AO=x，O在AB上，且⊙O的半徑為1．問當x在什么范圍內取值時AC與⊙O相離、相切、相交？

Answer 1

分析：由三角形的內角和可求出∠A的大小，根據含30°直角三角形的性質即可得到OD和AO的關系，
（1）若圓O與AC相離，則有OD大于r，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍；
（2）若圓O與AC相切，則有OD=r，求出x的值即可；
（3）若圓O與AC相交，則有OD小于r，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍．

解答：解：作OD⊥AC，
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵AO=x，
∴OD=

1

2

x，
（1）若圓O與AC相離，則有OD大于r，即

1

2

x＞1，解得：x＞2；
（2）若圓O與AC相切，則有OD等于r，即

1

2

x=1，解得：x=2；
（3）若圓O與AC相交，則有OD小于r，即

1

2

x＜1，解得：0＜x＜2；
綜上可知：當x＞2時，AC與⊙O相離；x=2時，AC與⊙O相切；0＜x＜2時，AC與⊙O相交．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系來判斷．