Question

【題目】已知拋物線 y ax2 bx c a 0經過點 A2, 0、 B 5, 0.

（1）用含 a 的代數式表示b 、c ；

（2）若點C 6, 4在拋物線上，在拋物線上找一點 P ，使 x 軸恰好平分CAP ，若存在求出點 P ，并求出此時ACP 的面積；

（3）在（2）的條件下，在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使tan AQC 2 ，若存在求出點Q 的坐標，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）b=-3a, c=-10a (2) P(4，3)；；（3）或

【解析】

（1）把A2, 0、 B 5, 0代入解析式可得方程組，求解可得答案；

（2）將C 6, 4代入，求得函數解析式，設存在點，使x 軸恰好平分CAP，則點P關于X軸的對稱點Q在AC上，,且，求出直線AC解析式，再將點Q坐標代入，可得m的值，則得到P（4，3），進而得到三解形ACP的面積；

（3）由 tan AQC 2 得 ，在Rt△ACE中， ，設△ACQ的外接圓圓心為D(m,n),連接AD交圓D于P,則APC＝AQC,∠ACP=90° ，，在Rt△ACP中，，得△ACQ的外接圓直徑，半徑為5.設△ACQ的外接圓圓心為D(m,n),可得到方程組，解方程組得到D的坐標為D(1,-4)或（3，0），再利用勾股定理解Rt△DHQ，得到QH的長，進而得到點Q的坐標.

（1）把A2, 0、 B 5, 0代入解析式可得：

解得b=-3a, c=-10a

(2) 由點C 6, 4在拋物線上，得

解得，，

故解析式為

如圖，設存在點，使x 軸恰好平分CAP，則點P關于X軸的對稱點Q在AC上，,且，

∵A(-2,0),C(6,-4),

∴可得直線AC的解析式為：

∴

解得

∴P(4，3)

∴

（3）如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，

∵ tan AQC 2

∴

∵A(-2,0),C(6,-4),

∴AE=8,CE=4

在Rt△ACE中，

設△ACQ的外接圓圓心為D(m,n),連接AD交圓D于P,則

APC＝AQC,∠ACP=90°，

∴

在Rt△ACP中

∴AP

∴圓D的半徑為5

∴AD=DC=5，

∴

解得

當D(1,-4)時，

在Rt△DHQ中，DH=,DQ=5,

∴

∴

當D(3,0)時，

在Rt△DHQ中，DH=,DQ=5,

∴

∴

綜上所述，點或.