Question

【題目】如圖，直線y＝2x﹣8分別交x軸、y軸于點A、點B，拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經過點A，且頂點Q在直線AB上．

（1）求a，b的值．

（2）點P是第四象限內拋物線上的點，連結OP、AP、BP，設點P的橫坐標為t，△OAP的面積為s1，△OBP的面積為s2，記s＝s1+s2，試求s的最值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當t＝3時，s取得最大值，最大值為18．

【解析】

(1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，由二次函數的對稱性可得出拋物線的對稱軸為直線x＝2，利于一次函數圖象上點的坐標特征可求出拋物線的頂點Q的坐標，由點A，P的坐標，利用待定系數法即可求出a，b的值；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點P的坐標，利用三角形的面積公式可找出s1，s2，進而可得出s關于t的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題．

解：（1）∵直線y＝2x﹣8分別交x軸、y軸于點A、點B，

∴點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，﹣8）．

∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經過點A，點O，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2．

當x＝2時，y＝2x﹣8＝﹣4，

∴拋物線頂點Q的坐標為（2，﹣4）．

將A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：

，解得：．

（2）由（1）得：拋物線解析式為y＝x2﹣4x，

∵點P的橫坐標為t，

∴點P的坐標為（t，t2﹣4t），

∴s1＝×4×（4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝×8×t＝4t，

∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18．

∵﹣2＜0，且0＜t＜4，

∴當t＝3時，s取得最大值，最大值為18．