Question

【題目】如圖，已知，拋物線與軸交于兩點，過點的直線與該拋物線交于點，點是該拋物線上不與重合的動點，過點作軸于，交直線于點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若，當時，求點坐標；

（3）當（2）中直線為時，是否存在實數，使與相似？若存在請求出的值；若不存在，請說明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（5，6）或（1，-6）；（3）存在，-2或-1

【解析】

(1)把A.B兩點的坐標代入，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
(2)設出P點坐標，則可表示出E.D的坐標，從而可表示出PE和DE的長，由條件可得關于P點坐標的方程，則可求得P點坐標；
(3)分兩種情況或，時，由二次函數的對稱性得出C點坐標，代入即可求解；時，如圖2，過點作于點，由相似三角形的性質及二次函數的對稱性得出C點、F點坐標，進而可求得k的值．

解：（1）∵拋物線與軸交于，兩點，

∴,

解得，

∴拋物線解析式為；

（2）當時，直線的解析式為．

設，

則，，

則，

，

∵，

∴，

當時，

解得或，

但當時，與重合不合題意，舍去，

∴；

當時，

解得或，

但當時，與重合不合題意，舍去，

∴；

綜上可知點坐標為或；

（3）存在.

∵，

∴要使與相似，

必有或，

①當時，

如圖1，軸，

圖1

∵，根據對稱性可得，

將代入解析式中，

得，

解得，，

②當時，

如圖2，過點作于點，

圖2

則有，

則，

∴，

易得，

∴，

由

得或．

∴，

∴，

∴，，

∴ ，

解得，，（此時與重合，舍去）

綜上，當或時，與相似.