Question

【題目】某商場(chǎng)經(jīng)銷一種成本價(jià)為20元/件的商品，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于成本價(jià)的1.8倍，在試銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)每天的銷量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示：

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）該商場(chǎng)銷售這種商品每天所獲得的利潤(rùn)為w元，若每天銷售這種商品需支付人員工資、管理費(fèi)等各項(xiàng)費(fèi)用共200元，求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式；并求出這種商品銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使商場(chǎng)每天獲取的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2），銷售單價(jià)定為36元/件時(shí)，利潤(rùn)最大，最大為888元

【解析】

（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，再根據(jù)銷售價(jià)不高于成本價(jià)的1.8倍，可得自變量x的取值范圍；

（2）根據(jù)（售價(jià)﹣成本）×銷售數(shù)量＝銷售利潤(rùn)，列出函數(shù)關(guān)系式，然后配方，寫(xiě)成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及問(wèn)題的實(shí)際意義，可得答案．

解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，根據(jù)題意得：，

解得：，

∴y＝﹣2x+140，

又20×1.8＝36，

∴自變量x的取值范圍是20≤x≤36；

（2）w＝（x﹣20）y﹣200

＝（2﹣20）（﹣2x+140）﹣200

＝﹣2x2+180x﹣3000

＝﹣2（x﹣45）2+1050，

∵﹣2＜0，

∴拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)x＜45時(shí)，w隨x的增大而增大，

又20≤x≤36，

∴當(dāng)x＝36時(shí)，w取得最大值，最大值為：

﹣2（36﹣45）2+1050＝﹣2×81+1050＝888（元）．

∴w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為w＝﹣2x2+180x﹣3000，這種商品銷售單價(jià)定為36元/件時(shí)，才能使商場(chǎng)每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是888元．