Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，二次函數y=x2+c的圖象拋物線交x軸于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求∠ABC的度數；
（2）若點D是第四象限內拋物線上一點，△ADC的面積為 ，求點D的坐標；
（3）若將△OBC繞平面內某一點順時針旋轉60°得到△O′B′C′，點O′，B′均落在此拋物線上，求此時O′的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意與y軸交于點C（0，﹣3），

∴得解析式為y=x2﹣3，

令y=0，x=± ，

∴B（ ，0），A（﹣ ，0），

∴OA= ，OC=3，AC=2 ，

∴∠OCA=30°，

∴∠ABC=60°；

（2）解：由（1）得：OA= ，OC=3，

∴S△OAC= ×3× = ，

過原點與AC平行的直線y=﹣ ，

直線與拋物線的交點即為點D，

聯立： ，

解得x1= ，x2= （舍去），

∴D （ ， ）．

（3）解：設點O′（m，m2﹣3），

∵順時針旋轉60°，

則點B′（m+ ，m2﹣ ），

∴（m+ ）﹣3=m2﹣ ，

∴m=﹣ ，

∴O′（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）通過待定系數法求出函數解析式，可以求出相應的線段的長度，觀察AC=2OA，進而求出∠ABC的度數
（2）通過觀察S△ADC=S△OAC，可以判斷直線OD∥AC，求出直線與拋物線的交點即為D
（3）利用點O'B'都在拋物線上，設出點O'的坐標，通過旋轉得B’的坐標，將B’帶入拋物線解析式即可求出。
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．