Question

【題目】已知BD、CE分別是△ABC的AC邊、AB邊上的高，M是BC邊的中點，分別連結MD、ME、DE。

（1）當∠BAC<90°時，垂足D、E分別落在邊AC、AB上，如圖1，求證：DM=EM；

（2）若∠BAC=120°，試判斷△DEM的形狀，并說明理由；

（3）當∠BAC= 時，△DEM是等腰直角三角形。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△DEM是等邊三角形，理由見解析；（3）當∠BAC=135°時，△DEM是等腰直角三角形.

【解析】

（1）DM是Rt△BCD斜邊BC上的中線，EM是Rt△BCE斜邊BC上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線的性質進行證明即可；

（2）根據等腰三角形的性質得到∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，由三角形的外角的性質得到∠BME =2∠MCE，∠CMD =2∠DBM，根據三角形的內角和得到∠DBM+∠MCE=60°，即可得到結論；

（3）設∠BAC=x，同（2）可推出∠DME=2x180°，當∠DME=90°時求出x即可.

(1)證明：∵BD、CE是△ABC的兩條高，M是BC的中點，

∴在Rt△BDC中，MD是斜邊BC上的中線，

∴DM=BC；

同理，得EM=BC，

∴DM=EM；

(2)如下圖所示，∠BAC=120°，

∵BM=CM=DM=EM，

∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，

∴∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE，∠CMD=∠DBM+∠BDM =2∠DBM，

∵∠BAC=120°，

∴∠DBM+∠MCE=60°，

∴∠BME+∠CMD=2（∠MCE +∠DBM）=120°，

∴∠DME=60°，

又∵DM=EM

∴△DEM是等邊三角形；

(3)∵BM=CM=DM=EM，

∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，

∴∠BME=2∠MCE，∠CMD=2∠DBM，

設∠BAC=x，

∴∠DBC+∠MCE=180°x，

∴∠BME+∠CMD=360°2x，

∴∠DME=180°(∠BME+∠CMD)=2x180°，

當∠DME=90°時，△DEM是等腰直角三角形，

所以2x180°=90°，解得x=135°，

故當∠BAC=135°時，△DEM是等腰直角三角形