Question

【題目】如圖，已知點A（2，0），以A為圓心作⊙A與y軸切于原點，與x軸的另一個交點為B，過B作⊙A的切線l．

（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點A，拋物線與x軸的另一個交點為點C，拋物線的頂點為點E，如果CO=2BE，求此拋物線的解析式；

（2）過點C作⊙A的切線CD，D為切點，求此切線長；

（3）點F是切線CD上的一個動點，當△BFC與△CAD相似時，求出BF的長．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-2）（x-6）；（2）CD=2；（3）BF的長為或．

【解析】

（1）由題意可知拋物線的對稱軸為x=4，然后設出拋物線的兩點式，然后將點E的坐標代入求解即可；

（2）由于AD是⊙A的切線，連接AD，那么根據切線的性質知AD⊥CD，在Rt△ACD中，可利用勾股定理求得切線CD的長度；

（3）若△BFC與△CAD相似，則有兩種情況需要考慮：①△FBC∽△ADC，②△BFC∽△CAD，根據不同的相似三角形所得不同的比例線段即可求得CF的長．

（1）∵A（2，0），⊙A與y軸切于原點，

∴⊙A的半徑為2．

∴點B的坐標為為（4，0）．

∵點A、C關于x=4對稱，

∴C（6，0）．

又CO=2BE，

∴E（4，-3）

設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），（a≠0）；

∵拋物線經過點E（4，-3）

∴-3=a（4-2）（4-6），

解得：a=．

∴拋物線的解析式為y=（x-2）（x-6）；

（2）如圖1所示：連接AD，

∵AD是⊙A的切線，

∴∠ADC=90°，AD=2，

由（1）知，C（6，0）．

∵A（2，0），

∴AC=4，

在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=42-22=12，

∴CD=2．

（3）如圖2所示：當FB⊥AD時，連結AD．

∵∠FBC=∠ADC=90°，∠FCB=∠ACD，

∴△FBC∽△ADC，

∴=，即=．

解得：CF=．

如圖3所示：當BF⊥CD時，連結AD、過點B作BF⊥CD，垂足為F．

∵AD⊥CD，

∴BF∥AD，

∴△BFC∽△ADC，

∴=，即=．

∴CF=．

綜上所述，BF的長為或．