Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連結CE，DF．

（1）求證：四邊形CEDF為平行四邊形；

（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，

①當AE＝　 cm時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE＝　 cm時，四邊形CEDF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①7；②4．

【解析】

(1)根據平行四邊形的性質得出CF平行ED,再根據三角形的判定方法判定△CFG≌△EDG,從而得出FG=CG,根據平行四邊形的判定定理,即可判斷四邊形CEDF為平行四邊形.

(2)①過A作AM⊥BC于M，根據直角三角形邊角關系和平行四邊形的性質得出DE＝BM，根據三角形全等的判定方法判斷△MBA≌△EDC,從而得出∠CED＝∠AMB＝90°，根據矩形的判定方法,即可證明四邊形CEDF是矩形.

②根據題意和等邊三角形的性質可以判斷出CE=DE,再根據菱形的判定方法,即可判斷出四邊形CEDF是菱形.

（1）證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CF∥ED，

∴∠FCD＝∠GCD，

∵G是CD的中點，

∴CG＝DG，

在△FCG和△EDG中，

∴△CFG≌△EDG（ASA），

∴FG＝EG，

∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①解：當AE＝7時，平行四邊形CEDF是矩形，

理由是：過A作AM⊥BC于M，

∵∠B＝60°，AB＝6，

∴BM＝3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，

∵AE＝7，

∴DE＝3＝BM，

在△MBA和△EDC中，，

∴△MBA≌△EDC（SAS），

∴∠CED＝∠AMB＝90°，

∵四邊形CEDF是平行四邊形，

∴四邊形CEDF是矩形，

故答案為：7；

②當AE＝4時，四邊形CEDF是菱形，

理由是：∵AD＝10，AE＝4，

∴DE＝6，

∵CD＝6，∠CDE＝60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CE＝DE，

∵四邊形CEDF是平行四邊形，

∴四邊形CEDF是菱形，

故答案為：4．