Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E，F，AE，CF分別與BD交于點G和H，且AB= ．

（1）若tan∠ABE =2，求CF的長；
（2）求證：BG=DH．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CDF=∠ABE，DC=AB= ，
∵tan∠ABE=2，
∴tan∠CDF=2，∵CF⊥AD，
∴△CFD是直角三角形，
∴ =2，設DF=x，則CF=2x，
在Rt△CFD中，由勾股定理可得（2x）2+x2=（ ）2，
解得x=2或x=﹣2（舍去），
∴CF=4；
（2）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠GAD=∠HCB=90°，
∴△AGD≌△CHB，
∴BH=DG，
∴BG=DH．
【解析】（1）由平行四邊形的性質，結合三角函數的定義，在Rt△CFD中，可求得CF=2DF，再利用勾股定理可求得CF的長。
（2）利用平行四邊形的性質結合條件可證得△AGD≌△CHB，則可求得BH=DG，從而可證得BG=DH。