Question

【題目】如圖，一次函數分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+x+2；（2）t=2時，MN有最大值4;（3）(0,6),(0,2)或(4,4)．

【解析】試題分析：

（1）先由直線分別交y軸、x軸于點A、B這一條件求出點A、B的坐標，將所求坐標代入拋物線列出關于的值即可得到所求拋物線的解析式；

（2）如圖1，由題意可知點M的橫坐標為t，根據點M在直線上，點N在（1）中所求拋物線上，可用含“t”的代數式表達出點M、N的坐標，結合第一象限中，點N在點M的上方，可用含“t”的代數式表達出MN的長，把所得式子配方，即可得到所求答案；

（3）由（2）中答案可得求得對應的點A、M、N的坐標，如圖2分析可知點D有三種可能，其中兩種情況點D在y軸上，結合AD=MN，即可求得兩個符合要求的點D1、D2的坐標；由圖可知第三個符合要求點D就是直線D1N和D2M的交點，求出兩直線的解析式聯立成方程組，解方程組即可求得第三個符合要求的點D的坐標.

試題解析：

(1)∵分別交y軸、x軸于A.、B兩點，

∴A、B點的坐標為：A(0,2)，B(4,0)，

將x=0，y=2代入y=x+bx+c得c=2，

將x=4，y=0，c=2代入y=x+bx+c得0=16+4b+2，解得b=，

∴拋物線解析式為： ，

(2)如圖1，由題意可知，直線MN即是直線，

∵點M在直線上，點N在拋物線上，

∴點M、N的坐標分別為、，

∵在第一象限中，點N在點M的上方，

∴MN=，

∴當時，MN最長=4；

(3)由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5).

以A. M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形，如圖2所示：

(i)當D在y軸上時，設D的坐標為(0，a)

由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，

從而D1為(0，6)或D2(0，2)，

(ii)當D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點，

由D1、D2、M、N的坐標可求得直線D1N的解析式為：y=x+6，直線D2M的解析式為：y=x2，

由 解得 ，

∴D3的坐標為：(4，4)，

綜上所述，所求的D點坐標為(0，6)，(0，2)或(4，4).