Question

【題目】如圖，OA，OD是⊙O半徑，過A作⊙O的切線，交∠AOD的平分線于點C，連接CD，延長AO交⊙O于點E，交CD的延長線于點B
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）如果D點是BC的中點，⊙O的半徑為3cm，求 的長度（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC是⊙O切線，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵CO平分∠AOD，

∴∠AOC=∠COD，

在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△DOC，

∴∠ODC=∠OAC=90°，

∴OD⊥CD，

∴直線CD是⊙O的切線

（2）解：∵OD⊥BC，DC=DB，

∴OC=OB，

∴∠OCD=∠B=∠ACO，

∵∠B+∠ACB=90°，

∴∠B=30°，∠DOE=60°，

∴ 的長= =π．

【解析】（1）欲證明直線CD是⊙O的切線，只要證明∠ODC=90°即可．（2）先證明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧長公式即可解決問題．