Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的動點（不含端點），且EG、FH均過正方形的中心O．

（1）填空：OHOF （“＞”、“＜”、“=”）；
（2）當四邊形EFGH為矩形時，請問線段AE與AH應滿足什么數量關系；
（3）當四邊形EFGH為正方形時，AO與EH交于點P，求OP2+PHPE的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）

解：當四邊形EFGH為矩形時，∠HEF=90°，

∴∠AEH+∠BEF=90°，

在正方形ABCD中，∠HAE=∠EBF=90°，

∴∠AEH+∠AHF=90°，

∴∠AHE=∠BEF，

∴△AEH∽△BFE，

∴ = ，

令AE=x，AH=y，則BF=1﹣y，BE=1﹣x，

∴ = ，

即x﹣y=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），

∴x=y或x+y=1，

∴AE=AH，或AE+AH=1

（3）

解：如圖所示，當四邊形EFGH為正方形時，∠HOE=90°，OH=OE，

∴∠OEH=∠OHE=45°，

∴∠OHP=∠PAE=45°，

∵∠HPO=∠APE，

∴△OPH∽△EPA，

∴ = ，即PH×PE=OP×AP，

∴OP2+PH×PE=OP2+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，

∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA，

∴△OPE∽△OEA，

∴ = ，即OP×OA=OE2，

∴OP2+PH×PE=OE2，

∵當OE⊥AB時，OE最小，此時OE= ，

∴當OE= 時，OP2+PH×PE最小，且等于 ．

【解析】解：（1）如圖所示，∵正方形ABCD，
∴AO=CO，∠OAH=∠OCF=45°，
又∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH≌△COF，
∴OH=OF；
所以答案是：=；

【考點精析】通過靈活運用相似三角形的應用，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解即可以解答此題．