Question

【題目】如圖，點(diǎn)A（-3,0）、點(diǎn)B（0，），直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、C，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠AMB=60°，則MCD面積的最小值是 ________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由直線方程求出點(diǎn)D、C的坐標(biāo)，由已知M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠AMB=60知點(diǎn)M在ΔABM的外接圓上，由已知推導(dǎo)出AB∥CD，則可知要使ΔMCD面積最小，只需點(diǎn)M在AB的垂直平分線上，進(jìn)而證得ΔABM是等邊三角形，通過推理求出點(diǎn)M坐標(biāo)，即可求得面積最小值.

∵M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠AMB=60，

∴點(diǎn)M在ΔABM的外接圓上，

∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、C，

∴C（0，），D（4，0），

∴OC=，OD=4，

∴tan∠ODC=，

∴∠ODC=60，

∵點(diǎn)A（-3,0）、點(diǎn)B（0，），

∴OA=3，OB=，

∴tan∠OAB=，且AB=，

∴∠OAB=60，

∴AB∥CD ，

∴當(dāng)M在AB的垂直平分線上時(shí)，ΔMCD的面積最小，此時(shí)AM=BM，

∵∠AMB=60，

∴ΔAMB是等邊三角形，

∴∠BAM=60，

∴點(diǎn)M在x軸上，且AM=AB=6，

∴點(diǎn)M（3,0）

∴MD=1，

∴ΔMCD的面積最小值為，

故答案為：.