Question

【題目】如圖，內接于，，為弧上一點，連

（1）如圖1，若為延長線上一點，連，求證：平分．

（2）如圖2，若于，過點作圓的切線交直線于，若，求．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據圓內接四邊形的性質可得，從而可得，再根據等腰三角形的性質可得，從而可得，然后根據圓周角定理可得，從而可得，最后根據角平分線的定義即可得證；

（2）法1：先根據圓的切線的性質可得，再根據垂直平分線的判定與性質可得，從而可得，然后根據平行線分線段成比例定理可得，最后根據正弦三角函數、勾股定理可求出AF、BF的長，由此即可得；法2：先同法1得出，再根據等腰三角形的性質、圓周角定理可得，從而可得，設，利用正弦三角函數、勾股定理可得，然后利用垂徑定理可得，設，最后在和中，分別利用勾股定理列出等式可求出x的值，從而可得BF的值，由此即可得．

（1）∵四邊形內接于

∴

又∵

∴

∵

∴

由圓周角定理得：

∴

∴平分；

（2）法1：連并延長交于，連，

切圓于

又，

AH是線段BC的垂直平分線

由圓周角定理得：

在中，

設，則

，，

則；

法2：連并延長交于，連，

切圓于

又，

AH是線段BC的垂直平分線

，

（等腰三角形的三線合一）

由圓周角定理得：

設，則

，，

由垂徑定理得：

設，則

由勾股定理得：

即

解得

，

則．