Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C（0，-3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D，點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點（點P在第三象限）

（1）求拋物線的函數表達式和直線BC的函數表達式；

（2）當△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 時，求出點P的坐標；

（3）當△PBC的面積為時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；直線BC的函數表達式為y=x-3；（2）P的坐標為（1-，-2）；（3）E的坐標為（0，-）.

【解析】

試題分析：（1）用對稱軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點C（0，-3），求出拋物線解析式即可；由拋物線的解析式可求出B的坐標，進而可求出線BC的函數表達式；

（2）當∠CDE=90°時，則CE為斜邊，則DG2=CGGE，即1=（OC-OG）（2-a），求出a的值，進而得出P點坐標；

（3）當△PBC的面積為時，過P作PK∥x 軸，交直線BC于點K，設P（m，n），則n=m2-2m-3，由已知條件可得：S△PBC=S△PKC+S△PKB=，進而可求出P的坐標，又因為點P在CE垂直平分線上，所以E的坐標可求出．

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴-=1，

∴b=-2

∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），

∴c=-3，

∴拋物線的函數表達式為：y=x2-2x-3；

∵拋物線與x軸交于A、B兩點，

當y=0時，x2-2x-3=0．

∴x1=-1，x2=3．

∵A點在B點左側，

∴A（-1，0），B（3，0）

設過點B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數表達式為y=kx+m，

則，

∴

∴直線BC的函數表達式為y=x-3；

（2）∵Rt△CDE中∠CDE=90°，直線BC的解析式為y=x-3，

∴∠OCB=45°，

∵點D在對稱軸x=1與直線y=x-3交點上，

∴D坐標為（1，-2 ）

Rt△CDE為等腰直角三角形易得E的坐標（0，-1），

∵點P在CE垂直平分線上，

∴點P縱坐標為-2，

∵點P在y=x2-2x-3上，

∴x2-2x-3=-2，

解得：x=1±，

∵P在第三象限，

∴P的坐標為（1-，-2）；

（3）過P作PK∥x軸，交直線BC于點K，設P（m，n），則n=m2-2m-3

∵直線BC的解析式為y=x-3，

∴K的坐標為（n+3，n），

∴PK=n+3-m=m2-3m，

∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=，

∴×3KP=

∴m2-3m=，

解得：m=-或，

∵P在第三象限，

∴P的坐標為（-，-）

∵點P在CE垂直平分線上，

∴E的坐標為（0，-）