Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，C是⊙O上的點，AC∥OP，M是直徑AB上的動點，A與直線CM上的點連線距離的最小值為d，B與直線CM上的點連線距離的最小值為f．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）設OP=AC，求∠CPO的正弦值；

（3）設AC=9，AB=15，求d+f的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）9≤d+f≤15．

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠OCA，由平行線的性質得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代換得到∠COP=∠BOP，由切線的性質得到∠OBP=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）過O作OD⊥AC于D，根據相似三角形的性質得到CDOP=OC2，根據已知條件得到=，由三角函數的定義即可得到結論；

（3）連接BC，根據勾股定理得到BC的值，當M與A重合時，得到d+f=12，當M與B重合時，得到d+f=9，于是得到結論．

試題解析：解：（1）連接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵AC∥OP，∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，∴∠COP=∠BOP，∵PB是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴∠OBP=90°，在△POC與△POB中，∵OC=OB，∠COP=∠BOP，OP=OP，∴△COP≌△BOP，∴∠OCP=∠OBP=90°，∴PC是⊙O的切線；

（2）過O作OD⊥AC于D，∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=AC，∵∠DCO=∠COP，∴△ODC∽△PCO，∴，∴CDOP=OC2，∵OP=AC，∴AC=OP，∴CD=OP，∴OPOP=OC2，∴=，∴sin∠CPO==；

（3）連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∵AC=9，AB=15，∴BC= =12，當M與A重合時，d=0，f=AB=15，∴d+f=15，當M與B重合時，d=9，f=0，∴d+f=9，∴d+f的取值范圍是：9≤d+f≤15．