Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A，B，C三點，其中點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（4，0），連接AC，BC．動點P從點A出發，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動；同時，動點Q從點O出發，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設運動時間為t秒．連接PQ．

（1）填空：b=　 　，c=　 　；

（2）在點P，Q運動過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；

（3）在x軸下方，該二次函數的圖象上是否存在點M，使△PQM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出運動時間t；若不存在，請說明理由；

（4）如圖②，點N的坐標為（﹣，0），線段PQ的中點為H，連接NH，當點Q關于直線NH的對稱點Q′恰好落在線段BC上時，請直接寫出點Q′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b= ，c=4；（2）△APQ不可能是直角三角形，理由見解析；（3）t=；（4）Q′（ ， ）．

【解析】試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣4）．將a=﹣代入可得到拋物線的解析式，從而可確定出b、c的值；

（2）連結QC．先求得點C的坐標，則PC=5﹣t，依據勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下來，依據CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；

（3）過點P作DE∥x軸，分別過點M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分別為D、E，MD交x軸與點F，過點P作PG⊥x軸，垂足為點G，首先證明△PAG∽△ACO，依據相似三角形的性質可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的長，然后再證明△MDP≌PEQ，從而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的長，從而可得到點M的坐標，然后將點M的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

（4）連結OP，取OP的中點R，連結RH，NR，延長NR交線段BC與點Q′．首先依據三角形的中位線定理得到EH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，則RH=NR，接下來，依據等腰三角形的性質和平行線的性質證明NH是∠QNQ′的平分線，然后求得直線NR和BC的解析式，最后求得直線NR和BC的交點坐標即可．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣4），

將a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4，

∴b=，c=4．

（2）在點P、Q運動過程中，△APQ不可能是直角三角形．

理由如下：連結QC．

∵在點P、Q運動過程中，∠PAQ、∠PQA始終為銳角，

∴當△APQ是直角三角形時，則∠APQ=90°．

將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，

∴C（0，4）．

∵AP=OQ=t，

∴PC=5﹣t，

∵在Rt△AOC中，依據勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依據勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依據勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，

∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．

∵由題意可知：0≤t≤4，

∴t=4.5不和題意，即△APQ不可能是直角三角形．

（3）如圖所示：

過點P作DE∥x軸，分別過點M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分別為D、E，MD交x軸與點F，過點P作PG⊥x軸，垂足為點G，則PG∥y軸，∠E=∠D=90°．

∵PG∥y軸，

∴△PAG∽△ACO，

∴，即，

∴PG=t，AG=t，

∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t，DF=GP=t．

∵∠MPQ=90°，∠D=90°，

∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，

∴∠DMP=∠EPQ．

又∵∠D=∠E，PM=PQ，

∴△MDP≌PEQ，

∴PD=EQ=t，MD=PE=3+t，

∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t，

∴M（﹣3﹣t，﹣3+t）．

∵點M在x軸下方的拋物線上，

∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4，解得：t=．

∵0≤t≤4，

∴t=．

（4）如圖所示：連結OP，取OP的中點R，連結RH，NR，延長NR交線段BC與點Q′．

∵點H為PQ的中點，點R為OP的中點，

∴EH=QO=t，RH∥OQ．

∵A（﹣3，0），N（﹣ ，0），

∴點N為OA的中點．

又∵R為OP的中點，

∴NR=AP=t，

∴RH=NR，

∴∠RNH=∠RHN．

∵RH∥OQ，

∴∠RHN=∠HNO，

∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分線．

設直線AC的解析式為y=mx+n，把點A（﹣3，0）、C（0，4）代入得： ，

解得：m= ，n=4，

∴直線AC的表示為y=x+4．

同理可得直線BC的表達式為y=﹣x+4．

設直線NR的函數表達式為y=x+s，將點N的坐標代入得： ×（﹣）+s=0，解得：s=2，

∴直線NR的表述表達式為y=x+2．

將直線NR和直線BC的表達式聯立得： ，解得：x= ，y=，

∴Q′（， ）．