Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2-4n+4經過點P（2,4），與x軸交于A、B兩點，過點P作直線l∥x軸，點C為第二象限內直線l上方，拋物線上一個動點，其橫坐標為m。

（1）如圖（1），若AB=6, 求拋物線解析式

（2）如圖（2），在（1）的條件下，設點C的橫坐標為t,ACP的面積S，求S與t之間的函數關系式.

（3）如圖（3），連接OP，過點C作EC∥OP交拋物線于點E，直線PE、CP分別交x軸于點G、H，當PG=PH時，求a的值。

Answer 1

【答案】(1)y=-x+ ；(2)S=；(3)a=-

【解析】

（1）根據題意可得A（－3，0），然后將點A、P的坐標代入拋物線解析式求出a和n即可；

（2）首先求出直線AP的解析式，然后過點C作y軸的平行線交直線AP于點M，根據點C的橫坐標為t可表示出C、M的坐標，求出CM的長，再利用三角形面積公式計算即可；

（3）根據PG=PH可得∠PGH=∠PHG，設直線PG解析式為：y-4=k(x-2)，則直線PH解析式為：y-4=-k(x-2)，分別聯立直線解析式和拋物線解析式求出E（，），C（，），然后根據EC∥OP列方程求解即可.

解：（1）∵拋物線對稱軸為x=0，AB=6，

∴A（－3，0），B（3，0），

將A（－3，0），P（2，4）代入y=ax2-4n+4得：，

解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）設直線AP的解析式為：y=kx+b(k≠0)，

將A（－3，0），P（2，4）代入得：，

解得：，

∴直線AP的解析式為：，

如圖，過點C作y軸的平行線交直線AP于點M，則C（t，），M（t，），

∴，

∴；

（3）將點P（2,4）代入拋物線y=ax2-4n+4得：4=4a-4n+4，

∴n=a，即拋物線解析式為：y=ax2-4a+4，

∵PG=PH，

∴∠PGH=∠PHG，

設直線PG解析式為：y-4=k(x-2)，則直線PH解析式為：y-4=-k(x-2)，

聯立，解得：或（舍去），

∴E點坐標為：（，），

同理，聯立直線PH解析式和拋物線解析式可得：C（，），

易得直線OP解析式為：y=2x，

∵EC∥OP，

∴，

解得：.