Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點，且∠BAE＝45°，若CD＝4，則DE長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過C點作CF∥AB交AD于點F，設BC＝AF＝a，根據平行四邊形和等腰直角三角形的性質構造平行四邊形，根據勾股定理，求出梯形上底長，再根據梯形面積等于三個三角形面積和求解即可．

解：如圖：

過C點作CF∥AB交AD于點F，∵AD∥BC，

∴四邊形ABCF是平行四邊形，∴CF＝AB，BC＝AF，

設BC＝AF＝a，

∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∠DAC＝45°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴AD＝CD＝4，

∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a，

∵AB＝BC+AD，

∴CF＝AB＝a+4．

在Rt△CDF中，根據勾股定理，得

（a+4）2＝（4﹣a）2+42，解得a＝1，

∴BC＝1，AB＝5．

作EH⊥AB于點H，∵∠EAB＝45°，

∴∠AEH＝45°，

∴AH＝EH＝AE．

設DE＝x，則CE＝4﹣x，

在Rt△ADE中，AE＝ ，S△ADE＝ADDE＝2x．

在Rt△BCE中，S△BCE＝BCCE＝（4﹣x）．

在Rt△ABE中，S△ABE＝ABEH＝ ．

S梯形ABCD＝CD（BC+AD）＝10．

S梯形ABCD＝S△ADE+S△BCE+S△ABE，

即10＝2x+（4﹣x）+．

整理得：7x2+192x﹣112＝0，

解得：x＝或x＝﹣28（舍去）．

所以DE的長為．/p>

故答案為．