Question

【題目】如圖1，二次函數y=ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）點P在該二次函數的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；

（3）如圖3，一次函數y=kx（k＞0）的圖象與該二次函數的圖象交于O、C兩點，點T為該二次函數圖象上位于直線OC下方的動點，過點T作直線TM⊥OC，垂足為點M，且M在線段OC上（不與O、C重合），過點T作直線TN∥y軸交OC于點N．若在點T運動的過程中， 為常數，試確定k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x；（2）P（1+，2）或（1﹣，2）或P（1+，4）或（1﹣，4）；（3）k=．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可解決問題．

（2）①當AB為對角線時，根據中點坐標公式，列出方程組解決問題．②當AB為邊時，根據中點坐標公式列出方程組解決問題．

（3）設T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以設直線TM為y=﹣x+b，則m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，求出點M、N坐標，求出OM、ON，根據列出等式，即可解決問題．

試題解析：解：（1）∵二次函數y=ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1，則有，解得： ，∴二次函數y=x2﹣2x；

（2）由（1）得：B（1，﹣1）．∵A（﹣1，3），∴直線AB解析式為y=﹣2x+1，AB=2，設點Q（m，0），P（n，n2﹣2n）．∵以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況討論：

①當AB為對角線時，根據中點坐標公式得，則有，解得： 或，∴P（1+，2）和（1﹣，2）；

②當AB為邊時，根據中點坐標公式得，解得或，

∴P（1+，4）或（1﹣，4）．

故答案為：P（1+，2）或（1﹣，2）或P（1+，4）或（1﹣，4）．

（3）設T（m，m2﹣2m）．∵TM⊥OC，∴可以設直線TM為y=﹣x+b，則m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，由，解得，∴OM==，ON=m，∴=，∴k=時， =，∴當k=時，點T運動的過程中， 為常數．