Question

【題目】對于坐標平面內的點，現將該點向右平移1個單位，再向上平移2的單位，這種點的運動稱為點A的斜平移，如點P（2，3）經1次斜平移后的點的坐標為（3，5），已知點A的坐標為（1，0）．

（1）分別寫出點A經1次，2次斜平移后得到的點的坐標．
（2）如圖，點M是直線l上的一點，點A關于點M的對稱點的點B，點B關于直線l的對稱軸為點C．
①若A、B、C三點不在同一條直線上，判斷△ABC是否是直角三角形？請說明理由．
②若點B由點A經n次斜平移后得到，且點C的坐標為（7，6），求出點B的坐標及n的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點P（2，3）經1次斜平移后的點的坐標為（3，5），點A的坐標為（1，0），

∴點A經1次平移后得到的點的坐標為（2，2），點A經2次平移后得到的點的坐標（3，4）；

（2）

解：①連接CM，如圖1：

由中心對稱可知，AM=BM，

由軸對稱可知：BM=CM，

∴AM=CM=BM，

∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，

∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，

∴∠ACM+∠MCB=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形；

②延長BC交x軸于點E，過C點作CF⊥AE于點F，如圖2：

∵A（1，0），C（7，6），

∴AF=CF=6，

∴△ACF是等腰直角三角形，

由①得∠ACE=90°，

∴∠AEC=45°，

∴E點坐標為（13，0），

設直線BE的解析式為y=kx+b，

∵C，E點在直線上，

可得： ，

解得： ，

∴y=﹣x+13，

∵點B由點A經n次斜平移得到，

∴點B（n+1，2n），由2n=﹣n﹣1+13，

解得：n=4，

∴B（5，8）．

【解析】此題考查幾何變換問題，關鍵是根據中心和軸對稱的性質和直角三角形的判定分析，同時根據待定系數法得出直線的解析式解答．（1）根據平移的性質得出點A平移的坐標即可；（2）①連接CM，根據中心和軸對稱的性質和直角三角形的判定解答即可。
②延長BC交x軸于點E，過C點作CF⊥AE于點F，根據待定系數法得出直線的解析式進而解答即可．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和軸對稱的性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上才能正確解答此題．